Фамилия Дергаев имеет несколько версий о своем происхождении и значении. Одна из гипотез утверждает, что фамилия происходит от древнерусского имени Дергай, которое, в свою очередь, имело тюркское происхождение и обозначало «мудрого» или «умного» человека.
Существует также мнение, что фамилия Дергаев происходит от слова «дергать» и могла обозначать человека, занимавшегося рыболовством или мелким ремеслом, связанным с движением рук.
Еще одна версия гласит, что фамилия происходит от признака человека, который был подвижен и живо реагировал на окружающий мир. В переводе с древнерусского «дергать» означает «подвижный».
Таким образом, фамилия Дергаев может иметь различные значения и происхождение. Каждая из гипотез отражает определенные черты характера или занятия предков, которые помогли сформировать это фамильное название.